⭐ ⭐ ⭐ ⭐ ⭐ Добрый день, читатели моего блога, сейчас будем постигать всем необходимую тему — Признак Делимости На 47. Возможно у Вас могут еще остаться вопросы, после того как Вы прочтете, поэтому лучше всего задать их в комметариях ниже, а еще лучше будет — получить консультацию у практикующих юристов по всем видам права от наших партнеров.
Постоянно обновляем информацию и следим за ее обновлением, поэтому можете быть уверенными, что Вы читаете самую новую редакцию.
Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:
- На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
- На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
- На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
- На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
- На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
- Признак делимости на 7 часто пропускается;
- Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
- Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
- Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
- Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.
Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.
Приглашение в мир математики
Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).
Pages
- Для14: на 2 и на 7;
- Для 15: на 3 и на 5;
- Для 18: на 2 и на 9;
- Для 21: на 3 и на 7;
- Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя — чётной);
- Для 24: на 3 и на 8;
- Для 26: на 2 и на 13;
- Для 28: на 4 и на 7.
Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.
Перейдем к доказательству необходимости. Пусть число а делится на 8 . Тогда нужно составить такое число, которое будет составлено из тех последних цифр заданного числа а , делящееся на 8 Отсюда получим, что a 0 делится на 8 .
Признак делимости на 8, примеры, доказательство
Если а делится на 8 , тогда и его модуль тоже, исходя из первого свойств делимости. Исходя из равенства вида a = a 1 · 1000 + a 0 получим, что a 1 · 1 000 поделится на 8 , а по второму свойству делимости видно, что a 0 поделится на 8 без остатка. Необходимость доказана.
Признак делимости на 8, примеры
Когда имеются числа, где в конце записаны 3 нуля, то очевидно, что нужно использовать правило умножения натуральных чисел на 1000 , которое поможет представить а в виде a = a 1 · 1 000 . Отсюда видно, что a 1 получим из числа а , когда заберем последние три цифры, расположенные справа. Очевидно, что 1000 делится на 8 , тогда и выражение a 1 · 1 000 будет делиться на 8 по свойствам делимости. Отсюда получили, что число а будет делиться на 8 без остатка.
Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.
- Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3. - Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3. - Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится. - Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1. - Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело. - Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
Основные признаки делимости
Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.
Когда исходное выражение с переменной n задано в виде многочлена, то можно пробовать такой подход. Если доказать, что при n=9·m , n=9·m+1 , …, n=9·m+8 , где m – целое число, исходное выражение делится на 9 , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 9 при любом целом n .
Также нам пригодятся два свойства делимости:
- чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
- если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .
Доказательство признака делимости на 9
Воспользуемся признаком делимости на 9 . Для этого вычислим сумму цифр данного числа: 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74 . А делится ли 74 на 9 ? Для ответа на этот вопрос вычислим сумму цифр числа 74 , имеем 7+4=11 , а сумма цифр числа 11 в свою очередь равна 1+1=2 . Так как 2 не делится на 9 , то по признаку делимости на 9 и число 11 не делится на 9 , следовательно, на 9 не делится и 74 , а значит, и исходное число.
